기술통계량 (평균, 중앙값, 분산, 표준편차)

기술통계(descriptive statistics)는 데이터를 몇 개의 숫자로 요약하는 것입니다. "이 반 학생들의 점수가 어떤가요?" 라는 질문에 150개의 점수를 나열하는 대신, "평균 82점, 표준편차 8점"이라고 대답하는 방식입니다.

중심 경향 — 데이터의 '중간'은 어디인가

평균 (Mean)

가장 직관적인 중심 측도입니다. 모든 값을 더해서 개수로 나눕니다.

scores <- c(72, 85, 90, 78, 95, 88, 62, 91, 84, 77)

mean(scores)   # 82.2

평균의 약점은 극단값(outlier)에 민감하다는 점입니다.

# 극단값이 포함된 경우
incomes <- c(200, 210, 195, 205, 198, 1000)  # 단위: 만원
mean(incomes)     # 334.7 — 1000만원 한 명 때문에 평균이 크게 올라갑니다

# 결측값이 있는 경우
x <- c(72, 85, NA, 78, 95)
mean(x)               # NA
mean(x, na.rm = TRUE) # 82.5

중앙값 (Median)

데이터를 크기 순으로 정렬했을 때 가운데 위치하는 값입니다. 극단값의 영향을 거의 받지 않습니다.

scores <- c(72, 85, 90, 78, 95, 88, 62, 91, 84, 77)
median(scores)   # 86.5 — 정렬 후 5번째(84)와 6번째(88) 평균

incomes <- c(200, 210, 195, 205, 198, 1000)
median(incomes)  # 202.5 — 극단값의 영향을 받지 않습니다
mean(incomes)    # 334.7

평균과 중앙값의 차이가 클수록 데이터가 한쪽으로 치우쳐 있다는 신호입니다. 소득 분포, 부동산 가격처럼 극단값이 많은 데이터에는 중앙값이 더 적합합니다.

최빈값 (Mode)

가장 자주 등장하는 값입니다. R에는 내장 mode() 함수가 없어서 직접 구하거나 별도 패키지를 씁니다.

survey <- c("좋음", "보통", "좋음", "나쁨", "좋음", "보통", "좋음")

# 직접 구하기
table(survey)
# 나쁨 보통 좋음
#    1    2    4  → 최빈값은 "좋음"

# 숫자에서 최빈값
x <- c(1, 2, 2, 3, 3, 3, 4)
as.numeric(names(which.max(table(x))))  # 3

분산과 변동성 — 데이터가 얼마나 흩어져 있는가

두 반의 평균 점수가 모두 80점이어도, 한 반은 모두 80점 근처이고 다른 반은 60점부터 100점까지 고르게 분포할 수 있습니다. 이 '흩어짐'을 측정하는 것이 분산과 표준편차입니다.

분산 (Variance)

각 값이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 제곱해서 평균 낸 값입니다.

scores_a <- c(78, 80, 82, 79, 81)   # 점수가 비슷한 반
scores_b <- c(60, 75, 80, 90, 95)   # 점수 차이가 큰 반

mean(scores_a)  # 80
mean(scores_b)  # 80  — 평균은 같습니다

var(scores_a)   # 2.5   — 분산이 작습니다
var(scores_b)   # 197.5 — 분산이 큽니다

R의 var() 함수는 표본 분산(n-1로 나눔)을 계산합니다. 모집단 분산(n으로 나눔)이 필요하면 직접 계산해야 합니다.

x <- c(78, 80, 82, 79, 81)

# 표본 분산 (R 기본)
var(x)                           # 2.5

# 모집단 분산
sum((x - mean(x))^2) / length(x) # 2.0

표준편차 (Standard Deviation)

분산의 제곱근입니다. 분산은 단위가 제곱이라 해석이 어렵습니다. 표준편차는 원래 데이터와 같은 단위로 돌아옵니다.

scores_a <- c(78, 80, 82, 79, 81)
scores_b <- c(60, 75, 80, 90, 95)

sd(scores_a)  # 1.58 — 평균에서 평균 1.58점 차이
sd(scores_b)  # 14.1 — 평균에서 평균 14.1점 차이

표준편차가 0이면 모든 값이 동일합니다. 표준편차가 클수록 값들이 평균에서 멀리 흩어져 있습니다.

범위와 사분위수

범위 (Range)

최댓값과 최솟값의 차이입니다.

x <- c(72, 85, 90, 78, 95, 88, 62, 91, 84, 77)

range(x)          # 62 95 — 최솟값과 최댓값
diff(range(x))    # 33  — 범위

사분위수 (Quartile)

데이터를 4등분하는 경계값입니다.

x <- c(72, 85, 90, 78, 95, 88, 62, 91, 84, 77)

quantile(x)
# 0%   25%   50%   75%  100%
# 62  77.25  86.5  89.75  95

# 1사분위수 (Q1): 25% 지점 — 전체의 25%가 이 값 이하
# 2사분위수 (Q2): 50% 지점 — 중앙값과 같습니다
# 3사분위수 (Q3): 75% 지점 — 전체의 75%가 이 값 이하

# 특정 분위수만 구하기
quantile(x, 0.25)   # Q1
quantile(x, 0.75)   # Q3
quantile(x, c(0.1, 0.9))  # 10%, 90% 분위수

# IQR (사분위 범위) = Q3 - Q1
IQR(x)  # 12.5

IQR은 데이터의 가운데 50% 범위를 나타냅니다. 극단값의 영향을 받지 않아서 분산의 대안으로 자주 씁니다.

summary() — 한 번에 보기

x <- c(72, 85, 90, 78, 95, 88, 62, 91, 84, 77)

summary(x)
#    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.
#   62.00   77.25   86.50   82.20   89.75   95.00

# 데이터프레임에 적용하면 모든 열을 한 번에 요약합니다
summary(iris)

그룹별 기술통계

library(dplyr)

iris %>%
  group_by(Species) %>%
  summarise(
    n      = n(),
    mean   = mean(Sepal.Length),
    median = median(Sepal.Length),
    sd     = sd(Sepal.Length),
    min    = min(Sepal.Length),
    max    = max(Sepal.Length),
    IQR    = IQR(Sepal.Length)
  )

변동계수 — 다른 단위의 데이터 비교

표준편차는 단위가 다른 데이터끼리 비교하기 어렵습니다. 변동계수(CV, Coefficient of Variation)는 표준편차를 평균으로 나눠서 백분율로 표현합니다.

# 키(cm)와 몸무게(kg)의 변동성 비교
height <- c(165, 170, 158, 175, 168)
weight <- c(58, 72, 55, 80, 65)

# 표준편차만 보면 단위가 달라 비교가 어렵습니다
sd(height)  # 6.2 cm
sd(weight)  # 9.9 kg

# 변동계수: (표준편차 / 평균) × 100
cv <- function(x) sd(x) / mean(x) * 100

cv(height)  # 3.7% — 상대적으로 변동이 작습니다
cv(weight)  # 15.3% — 상대적으로 변동이 큽니다

변동계수가 크다면 그 변수는 개인차가 크다는 의미입니다.

왜도와 첨도 — 분포의 모양

library(e1071)  # install.packages("e1071")

x <- c(72, 85, 90, 78, 95, 88, 62, 91, 84, 77)

skewness(x)   # 왜도 — 0에 가까울수록 대칭, 양수면 오른쪽 꼬리
kurtosis(x)   # 첨도 — 0이면 정규분포, 양수면 뾰족, 음수면 납작

왜도(skewness)가 양수이면 오른쪽으로 긴 꼬리가 있다는 뜻입니다. 소득 분포가 대표적입니다. 대부분 사람의 소득은 중앙 근처에 몰려 있고, 소수의 고소득자가 오른쪽 꼬리를 만듭니다.

통계량 정리

숫자로 데이터를 파악했다면, 이제 시각화로 분포의 모양을 눈으로 확인할 차례입니다.